中学受験鉄人会をご存じですか？
簡単に言えば家庭教師の集団です。
鉄人会が早稲アカ四谷の組み分け、サピックスのマンスリーテストの予想問題を掲載していることはご存じでしょうか？
ちょうど今６年生のSAPIX生向け６月１５日実施？のマンスリーテスト対策用算数予想問題を掲載しています。
息子は早稲アカに通っていたのですがSAPIXのマンスリー・組み分け対策予想問題はどんな単元を進めていて、どんなレベルの問題を出しているのかを確認するためにいつもチェックをしていました。
ちょうど６月の６年生のマンスリーてテスト対策算数予想問題が掲載されていたので、その中から１問、中空方陣問題を紹介します。
問題と解答
問題
解答
中空方陣を４つに区切るという、オーソドックスな解法です。
たぶん答えを出すには一番早い方法だと思います。
では、このアプローチ以外にどんな別解が考えられますか？
次に紹介する方法は、算数や数学の問題を解く時に役立つアプローチを使った方法です。
別解
中空方陣ということは外側の一片ｍ個の正方形から中の一片n個の正方形をくりぬいた形です。（m>n）
したがってm^2ーn^2=192となるようなｍとｎの組み合わせを見つければいいのです。
まずm^2ーn^2=（m+n)×(m-n）＝192=2^6×3
192は偶数なので、（m+n）と（m-n）は（偶数、偶数）か（奇数、奇数）の組み合わせ。
（m+n）と（m-n）の組み合わせを考えると、（ただしm+n>m-n）
（m+n, m-n）＝（2^6,1）（2^5,2）（2^6,3）（2^5,2×3）（2^4×3,2^2）（2^4,2^2×3）（2^3×3,2^3）
の７通りが考えられる。
m+nはすべて偶数なので、m-nが奇数となる（2^6,1）、（2^6,3）は除外。
よって残る５通りが該当するが、うち（2^4×3,2^2）＝（48,4）よりm=26,n=22は問題で使われているので残った４通りが答え。
解説
ここで m^2ーn^2=（m+n)×(m-n）＝192=2^6×3 を使っています。
m^2ーn^2=（m+n)×(m-n）って中学１年の数学で習うことなのでそんなの使っていいのって思いますよね。
これは等積変形を使えば導き出すことができるので、小学生が使ってはいけないというわけではありません。
m^2ーn^2の部分のうち一部を等積変形すれば、m+nとm-nの長さの長方形になりました。
さいごに
この別解を通して学んでおきたいのは、
m^2ーn^2=（m+n)×(m-n）という中１数学の公式のようなものも等積変形を使うと導けるということ。
そして、範囲を絞る時に偶数、奇数を使って絞り込みをするというアプローチです。
該当する５通りまで導いた段階で１つは例で使っているから４通りと答えられますが、
(m,n)=(26,22）は念のため確認したまでです。
ただこのもんだいではm,nが整数である必要があるので本当にm,nともに整数の組が存在するか、５通り全て確認する必要はあります。
そう考えたら模範解答のやり方が実はスマートで確実なアプローチだとわかります。
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