２０２４年一橋と東大の数学の確率問題が数値替え問題でした！

２０２４年２月の同日に行われた一橋と東大文系の数学の問題がなんと、数値替え問題でした！

こんな偶然ってあるんですね。

東大（文系）と一橋の問題

どうですか！

問題の設定がよく似ていますよね。

東大（文系）

一橋

この問題は確率の問題ですが、

場合分けの問題に変更したら難関校の中学入試問題として出題されてもいい題材です。

解説

一橋は正n角形から選んだ３点をで作る三角形の内部に円の中心が含まれる確率。

東大は正n角形から選んだ４点で作る四角形の内部に円の中心が含まれる確率。

３点か４点かの違い。

「余事象」を考えて、3点を頂点とする三角形が円の中心を内部に含まない事は、ある中心を通る直線Lが存在して、3点がLに関して同じ側にあることと同値である。４点の場合も同様。

一橋も東大も、k=(n-1)/2とした時に

一橋は　Pn=1-（n＊kC2）/nC3　=　(n+1)/4(n-2)

東大は　Pn=1-（n＊kC3）/nC4　=　(n+1)/2(n-2)

とほぼ数値替え問題でした。

同じ年での数値替え問題だから練習のしようがないのですが。。。

さいごに

四角形になると三角形の確率の2倍になるんですね。

四角形だと三角形より広くなるから確率が上がるのはなんとなくわかるけど２倍になるとは！

ちなみに円周上に無作為に３点を取り、それを頂点として円に内接する三角形を作るとき、その三角形に円の中心が含まれる確率は1/4になります。

一橋の問題の答えもnを♾️にすると1/4に収束するので合ってますね。

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