もうじき算数オリンピックの予選の時期だなと思い、何か算数オリンピックのHPに面白い話題がないかなとみてみました。
中学入試問題を紹介！の欄は以前は問題１０までだったのに２５問まで増えていました。
問題１９までの問題は【中学入試2023】独断と偏見の良問紹介シリーズで先に私のブログで取り上げていた問題もありました。
（その１）算数オリンピック委員会が選んだ2023年中学入試問題３問（小4，5レベル）
（その２）算数オリンピック委員会が選んだ2023年中学入試問題
（その3）算数オリンピック委員会が選んだ2023年中学入試問題
（その４）算数オリンピック委員会が選んだ2023年中学入試問題
今回はその紹介と、解説がない問題２０～２５までのうち２０～２２と２４の解説を作成しました。
問題２３は【中学入試2023】独断と偏見の良問紹介シリーズでとりあげています。
中学入試問題を紹介！の問題一覧
問題１９までの問題は【中学入試2023】独断と偏見の良問紹介シリーズで先に私のブログで取り上げていた問題もありました。
問題１ 並び順を逆に 開智中学校 算数特待 2023年
問題２ 長方形の面積は？ 淑徳与野中学校 第1回 2023年
問題３ 2023→各位の数の和が7 栄東中学校 東大特待Ⅰ 2023年
問題４ 燃料を運んで… 開智中学校 算数特待 2023年
問題５ 正三角形何個分？ 栄東中学校 東大特待Ⅰ(１教科) 2023年
問題６ ヒット アンド ブロー！ 栄東中学校 東大特待Ⅰ(１教科) 2023年
問題７ 玉を移しかえよう！ 浦和明の星女子中学校 第1回 2023年
問題８ 2023個ならんだ整数 渋谷教育学園幕張中学校 一次 2023年
問題９ 直角二等辺三角形の内部の面積は？ 渋谷教育学園幕張中学校 一次 2023年
問題１０ ○と●を入れて… 市川中学校 第1回 2023年
問題１１ チームの勝ち点は？ 早稲田中学校 第1回 2023年
問題１２ 積の魔法陣 渋谷教育学園渋谷中学校 第１回 2023年
問題１３ 最短経路と最長経路 普連土学園中学校 ２日午後２科 2023年
問題１４ 正直者と嘘つき者 広尾学園中学校 第1回 2023年
問題１５ 48÷(4＋8)＝4 駒場東邦中学校 2023年
問題１６ J、G、G、J、J、G、G、J、J… 女子学院中学校 2023年
問題１７ マイナスカード 東海中学校 2023年
問題１８ 1から9で、○○○＋－○○○＝○○○ 慶應義塾中等部 2023年
問題１９ マスをうめよう！2 0 2 3 → 2 2 1 → 0 1 → 1 筑波大学附属駒場中学校 2023年
問題２０ 角ア＝角イ×□＋60度 早稲田中学校 第2回 2023年
問題２１ 長方形と直角三角形 慶應普通部 2023年
問題２２ 正方形を折って… 東海中学校 2023年
問題２３ ２つの正方形 武蔵中学校 2023年
問題２４ 光線の反射 海城中学校 第一回 2023年
問題２５ 点対称？線対称？ 海城中学校 第二回 2023年
問題１９までは解説の記載があるので、問題２０～２３の問題について紹介します。
問題２０ 角ア＝角イ×□＋60度 早稲田中学校 第2回 2023年
問題２０ 角ア＝角イ×□＋60度 早稲田中学校 第2回 2023年
図形問題は、隠れている、知っている/同じ形を見つける、もしくは復元することです。
この問題はCEをひくことで相似形を作り出すことができます。
△ACF∽△BEFより相似比は1:4
AF＝4cmとなるので△ACF、△BEFは二等辺三角形。
∠ACF=ウとすると髄所にウが現れる。
ア＝イ＋ウ
イ＋３×ウ＝180°より
ア＝イ＋60°ー1/3×イ＝60°＋2/3×イ
よって答えは2/3倍
問題２１ 長方形と直角三角形 慶應普通部 2023年
問題２１ 長方形と直角三角形 慶應普通部 2023年
この問題も長方形の基本性質を使うために対角線を引くことがポイントでした。
AD=BE=CG=CFより△CGFは二等辺三角形
条件から∠GFH=49°
四角形ACDG、BCEFが長方形なので∠CEF=∠BFC＝16°
∠CGD=16°+49°ー41°＝24°＝∠CAD
求めるア＝∠AIEなので24°＋°90°＋16°＝130°
問題２２ 正方形を折って… 東海中学校 2023年
問題２２ 正方形を折って… 東海中学校 2023年
（１）は定番問題ですね。答え45°。
（２）は（１）の45°を使うことがヒントだとしたら、直角二等辺三角形を作ることを考えることは王道です。
EIを引き△AEIの直角二等辺三角形を作ります。
△ABE≡△EHIになるからIJ＝12cm、DG＝8cm。
EG=EF+FG=BE+DG=8+12=20cm
類題～2006年 算数オリンピック ファイナル
東海中学校2023年の上記問題の類題として2006年算数オリンピック ファイナルの問題を紹介します。
どのようにアプローチしたら解けますか？
このファイナルテストの問題をやっていたら、東海中学の問題は瞬殺だったでしょうね。
【問題】
右の図のように、長方形ABCDの各辺上に頂点を持つ四角形PQRSがある。
辺の長さや角度に関して図に記入されている情報がわかっている時、四角形PQRSの面積は何㎠か？
答え（四角形PQRSの面積）＝ 68.5 ㎠
問題２４ 光線の反射 海城中学校 第一回 2023年
光の反射の問題は理科でも出題されます。
三角形内部の反射は出会う回数が少なく、経験不足なまま入試本番を迎えがちな論点です。
とはいえ、問題が丁寧に作られていることもあり反射の鏡の世界の基本に立ち返って考えていくと経験がなくてもクリアができたかもしれません。
こちらのホームページでわかりやすく解説がありますので参照ください。
光の反射問題の類題
【問題】
右の図のように、∠ＣＡＢ＝３０°となっている、半直線ＡＢと半直線ＡＣがあります。
いま、まず∠ＣＡＢの内部に点Ｐをとります。次に、点Ｑ,Ｒを、△ＰＱＲの周の長さが最も小さくなるように、半直線ＡＣ、ＡＢ上にとります。
△ＰＱＲの周の長さが６cmとなるような点Ｐを考えると、点Ｐはある線上に存在します。このとき、この線の長さは何cmであるかを求めてください。
必要であれば、円周率は3.14として計算してください。
答え 3.14ｃｍ
さいごに
図形の３題は解き方が算数オリンピックぽい問題でした。
補助線はたまたま見つかる線なのでなく、問題２０、２１のように対角線が片方だけあればもう一方を引いてみる。
４５°という数字をみたら直角二等辺三角形を作ってみる。
そんな作問者の意図を考えるとひく補助線は必然となるのです。
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